Números complexos

Representação dos números complexos

Um número complexo é constituído por duas componentes: a parte real e a parte imaginária. Isso sugere a utilização de dois eixos para representá-lo: um para a parte real e o outro para a parte imaginária. Esses dois eixos chamam-se eixo real e eixo imaginário, respectivamente. O plano determinado por esses dois eixos chama-se plano complexo.

Para desenharmos o gráfico do número complexo a + bi, marcamos o ponto (a; b) no plano.

Exemplo

Números complexos

O caso da raiz quadrada

Sabemos que um número real positivo r tem duas raízes quadradas

e -,

Os números reais negativos também tem duas raízes quadradas. Por exemplo, 2i e - 2i são as raízes quadradas de - 4 porque

(2i)² = 2² . i² = 4 . (-1) = - 4

(- 2i)² = (- 2)² . i² = (- 2)² . i² = 4 . (- 1) = - 4

De um modo mais geral, se r > 0 é um número real, o número real negativo - r, tem duas raízes quadradas, porque

(i)² = i² . ()² = -1 . r = -r

(-i²) = (-1) ² . i² . ()² = 1 . (-1) . r = -r

Chamamos i de raiz quadrada principal de - r, e usamos o desenho para representá-la; a outra raiz quadrada - i é representada com -. Note que as duas raízes quadradas são números complexos imaginários puros, e que são conjugados.

Raízes quadradas de números negativos Se - r <>raízes quadradas de - r são ie - i A raiz quadrada principal de - r é i : = i

Exemplos

= i =i

= i = 5i

= i

Observação

Devemos ter especial cuidado quando efetuamos operações envolvendo raízes quadradas de números negativos. Quando a e b são positivos vale a propriedade . = . Mas, quando ambos são negativos a propriedade não é verdadeira. Por exemplo, a definição dada permite-nos escrever

. = i . i

= i² . .

=

Entretanto, se usarmos a propriedade temos

. =

Quando multiplicamos radicais de números negativos, devemos em primeiro lugar, escrevê-los na forma i, com r > 0.

Números complexos

Potências de i

Temos:

i0 = 1	i4 = i2 . i2 = (-1) . (-1) = 1
i1 = i	i5 = i4 . i = 1 . i = i
i2 = -1	i6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1
i3 = i2 . i = -1 . i = -i	i7 = i4 . i3 = 1 (-i) = -i

Observe que as quatro potências de i na coluna da esquerda, repetem-se nos quatro casos seguintes na coluna da direita. Este ciclo

1, i, -1, -i

repete-se indefinidamente.

Então, para simplificar i^x para x > 4, buscamos o maior múltiplo de 4 contido em x; por exemplo

i²⁶ = i²⁴ . i² = (i⁴)⁶ . i²

= 1⁶ . (-1)

= -1

i⁴³ = i⁴⁰ . i³ = (i⁴)¹⁰ . i³

= i¹⁰ . (-i)

= -i