Números complexos

O conjugado e a divisão

Divisão de números complexos é semelhante à racionalização do denominador de uma fração com radicais. Assim, se temos o quociente nosso objetivo é escrevê-lo na forma a + bi. Para isso, introduziremos inicialmente o conceito de conjugado de um número complexo.

Complexos conjugados O conjugado de um número complexo a + bi é a - bi, e o conjugado de a - bi é a + bi. Os números complexos a + bi e a - bi são chamados complexos conjugados. Para um número complexo z, seu conjugado é representado com ; então, se z = a + bi escrevemos = a - bi.

Exemplos

O conjugado de z = 2 + 3i é = 2 - 3i

O conjugado de z = 2 - i é = 2 + 3i

O conjugado de z = 5i é = - 5i

O conjugado de z = 10 é = 10

Quando multiplicamos um número complexo z = a + bi pelo seu conjugado = a - bi, o resultado que se obtém é um número real não negativo:

z . = (a + bi) . (a – bi)
= a2 – abi + abi – b2i2
= a2 – b2 . (-1)	A soma dos quadrados de dois números reais nunca é negativa
= a2 + b2

Usamos essa propriedade para expressar o quociente de dois números complexos na forma a + bi.

Dividindo dois números complexos Para escrevermos o quociente na forma A + Bi, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

Exemplo

Vamos escrever o quociente na forma a + bi.

Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, para obter um número real no denominador.

=

=

=

= i

= 1 – i