Adição dos Números Complexos

2. Aritmética dos números complexos

Adição e Subtração

Adição

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Para adicionarmos dois números complexos, adicionamos as partes reais e as partes imaginárias

Subtração

(a + bi) - (c + di) = (a – c) + (b – d)i

Para subtrairmos dois números complexos, subtraímos as partes reais e as partes imaginárias

Exemplos

(3 + 4i) + (- 7 + 8i) = (3 - 7) + (4 + 8) i

= - 4 + 12i

Na prática, fazemos

(3 + 4i) + (-7 + 8i) =

(- 5 + 6i) - (4 - 2i) = (- 5 - 4) + [6 - (- 2)] i

= - 9 + 8i

Na prática fazemos

(-5 + 6i)

Multiplicação

(a + bi) . (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

Multiplicamos números complexos como multiplicamos binômios, usando i2 = - 1

Exemplos

= 6 – 8i + 9i – 12i2	Distributiva
= 6 + i – 12 . (-1)	-8i + 9i = i e i2 = - 1
= 6 + i + 12
= 18 + i

= – 8 – 4i + 4i + 2i2	Distributiva
= – 8 + 2 . (-1)	-4i + 4i = 0 e i2 = - 1
= – 8 – 2
= – 10

= – 3i . (4) – 3i . (-2i)

= - 12i + 6i²

= - 12i + 6 . (-1)

= - 6 - 12i

Dedinição de Números Complexos

1. Definições

Vimos na resolução de uma equação do 2º grau que se o discriminante é negativo, ela não admite raízes reais. Por exemplo, a equação

x² + 9 = 0

não admite raízes reais. Se usarmos os métodos que conhecemos para resolvê-la, obtemos

x² = -9

x = ±

mas é inaceitável tal resultado para x; os números negativos não têm raiz quadrada.

Para superar tal impossibilidade e poder, então, resolver todas equações do 2º grau, os matemáticos ampliaram o sistema de números, inventando os números complexos.

Primeiro, eles definiram um novo número

i =

Isso conduz a i² = -1. Um número complexo é então um número da forma a + bi onde a e b são números reais.

Para a equação acima fazemos

x = ±

x = ±

x = ± .

x = ± 3 i

As raízes da equação x² + 9 = 0 são 3i e - 3i.

Definição Um número complexo é uma expressão da forma a + bi onde a e b são números reais e i2 = -1. No número complexo a + bi, a é a parte real e b é a parte imaginária.

Exemplos

2 + 5i	parte real 2	parte imaginária 5
i	parte real	parte imaginária
12i	parte real 0	parte imaginária 12
-9	parte real -9	parte imaginária 0

Um número como 12i, com parte real 0, chama-se número imaginário puro. Um número real como -9, pode ser considerado como um número complexo com parte imaginária 0.

Igualdade de números complexos

Os números complexos a + bi e c + di são iguais se suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais, isto é:

a + bi = c + di se

Exemplos

2 + 5i =

Se x e y são números reais e x + yi = 7 - 4i, então x = 7 e y = - 4.

Matemática Para Todos.

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