Números complexos

Representação dos números complexos

Um número complexo é constituído por duas componentes: a parte real e a parte imaginária. Isso sugere a utilização de dois eixos para representá-lo: um para a parte real e o outro para a parte imaginária. Esses dois eixos chamam-se eixo real e eixo imaginário, respectivamente. O plano determinado por esses dois eixos chama-se plano complexo.

Para desenharmos o gráfico do número complexo a + bi, marcamos o ponto (a; b) no plano.

Exemplo

Números complexos

O caso da raiz quadrada

Sabemos que um número real positivo r tem duas raízes quadradas

e -,

Os números reais negativos também tem duas raízes quadradas. Por exemplo, 2i e - 2i são as raízes quadradas de - 4 porque

(2i)² = 2² . i² = 4 . (-1) = - 4

(- 2i)² = (- 2)² . i² = (- 2)² . i² = 4 . (- 1) = - 4

De um modo mais geral, se r > 0 é um número real, o número real negativo - r, tem duas raízes quadradas, porque

(i)² = i² . ()² = -1 . r = -r

(-i²) = (-1) ² . i² . ()² = 1 . (-1) . r = -r

Chamamos i de raiz quadrada principal de - r, e usamos o desenho para representá-la; a outra raiz quadrada - i é representada com -. Note que as duas raízes quadradas são números complexos imaginários puros, e que são conjugados.

Raízes quadradas de números negativos Se - r <>raízes quadradas de - r são ie - i A raiz quadrada principal de - r é i : = i

Exemplos

= i =i

= i = 5i

= i

Observação

Devemos ter especial cuidado quando efetuamos operações envolvendo raízes quadradas de números negativos. Quando a e b são positivos vale a propriedade . = . Mas, quando ambos são negativos a propriedade não é verdadeira. Por exemplo, a definição dada permite-nos escrever

. = i . i

= i² . .

=

Entretanto, se usarmos a propriedade temos

. =

Quando multiplicamos radicais de números negativos, devemos em primeiro lugar, escrevê-los na forma i, com r > 0.

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Potências de i

Temos:

i0 = 1	i4 = i2 . i2 = (-1) . (-1) = 1
i1 = i	i5 = i4 . i = 1 . i = i
i2 = -1	i6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1
i3 = i2 . i = -1 . i = -i	i7 = i4 . i3 = 1 (-i) = -i

Observe que as quatro potências de i na coluna da esquerda, repetem-se nos quatro casos seguintes na coluna da direita. Este ciclo

1, i, -1, -i

repete-se indefinidamente.

Então, para simplificar i^x para x > 4, buscamos o maior múltiplo de 4 contido em x; por exemplo

i²⁶ = i²⁴ . i² = (i⁴)⁶ . i²

= 1⁶ . (-1)

= -1

i⁴³ = i⁴⁰ . i³ = (i⁴)¹⁰ . i³

= i¹⁰ . (-i)

= -i

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O conjugado e a divisão

Divisão de números complexos é semelhante à racionalização do denominador de uma fração com radicais. Assim, se temos o quociente nosso objetivo é escrevê-lo na forma a + bi. Para isso, introduziremos inicialmente o conceito de conjugado de um número complexo.

Complexos conjugados O conjugado de um número complexo a + bi é a - bi, e o conjugado de a - bi é a + bi. Os números complexos a + bi e a - bi são chamados complexos conjugados. Para um número complexo z, seu conjugado é representado com ; então, se z = a + bi escrevemos = a - bi.

Exemplos

O conjugado de z = 2 + 3i é = 2 - 3i

O conjugado de z = 2 - i é = 2 + 3i

O conjugado de z = 5i é = - 5i

O conjugado de z = 10 é = 10

Quando multiplicamos um número complexo z = a + bi pelo seu conjugado = a - bi, o resultado que se obtém é um número real não negativo:

z . = (a + bi) . (a – bi)
= a2 – abi + abi – b2i2
= a2 – b2 . (-1)	A soma dos quadrados de dois números reais nunca é negativa
= a2 + b2

Usamos essa propriedade para expressar o quociente de dois números complexos na forma a + bi.

Dividindo dois números complexos Para escrevermos o quociente na forma A + Bi, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

Exemplo

Vamos escrever o quociente na forma a + bi.

Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, para obter um número real no denominador.

=

=

=

= i

= 1 – i