Números complexos

O caso da raiz quadrada

Sabemos que um número real positivo r tem duas raízes quadradas

e -,

Os números reais negativos também tem duas raízes quadradas. Por exemplo, 2i e - 2i são as raízes quadradas de - 4 porque

(2i)² = 2² . i² = 4 . (-1) = - 4

(- 2i)² = (- 2)² . i² = (- 2)² . i² = 4 . (- 1) = - 4

De um modo mais geral, se r > 0 é um número real, o número real negativo - r, tem duas raízes quadradas, porque

(i)² = i² . ()² = -1 . r = -r

(-i²) = (-1) ² . i² . ()² = 1 . (-1) . r = -r

Chamamos i de raiz quadrada principal de - r, e usamos o desenho para representá-la; a outra raiz quadrada - i é representada com -. Note que as duas raízes quadradas são números complexos imaginários puros, e que são conjugados.

Raízes quadradas de números negativos Se - r <>raízes quadradas de - r são ie - i A raiz quadrada principal de - r é i : = i

Exemplos

= i =i

= i = 5i

= i

Observação

Devemos ter especial cuidado quando efetuamos operações envolvendo raízes quadradas de números negativos. Quando a e b são positivos vale a propriedade . = . Mas, quando ambos são negativos a propriedade não é verdadeira. Por exemplo, a definição dada permite-nos escrever

. = i . i

= i² . .

=

Entretanto, se usarmos a propriedade temos

. =

Quando multiplicamos radicais de números negativos, devemos em primeiro lugar, escrevê-los na forma i, com r > 0.